Можно ли жителям Донецка сдать на водительские права? И как это выглядит?

Лица, постоянно или временно проживающие либо временно пребывающие на территории Российской Федерации, допускаются к управлению транспортными средствами на основании российских национальных водительских удостоверений, а при отсутствии таковых - на основании иностранных национальных или международных водительских удостоверений при соблюдении ограничений, указанных в пункте 13 настоящей статьи. (ч. 12 ст. 25 Закона "О безопасности дорожного движения" - далее Закон).

К сдаче экзаменов допускаются лица, достигшие установленного настоящей статьей возраста, имеющие медицинское заключение об отсутствии противопоказаний к управлению транспортными средствами, прошедшие в установленном порядке соответствующее профессиональное обучение. (ст. 26 Закона)

Обучение граждан правилам безопасного поведения на автомобильных дорогах осуществляется организациями, осуществляющими образовательную деятельность, в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами, предусматривающими такое обучение. (ст. 29 Закона)

Т.е. Вы проходите обучение в автошколе, сдаете экзамен и получаете российское водительское удостоверение.

О порядке обмена иностранных водительских удостоверений смотрите постановление Правительства РФ от 24.10.2014 № 1097 "О допуске к управлению транспортными средствами"