Можно ли быть ИП и работать по трудовой книжке

да, конечно можете по совместительству

Так же можете сделать запись в трудовую книжку о работе по совместительству

Статья 282. Общие положения о работе по совместительству

[Трудовой кодекс РФ] [Глава 44] [Статья 282]

Совместительство - выполнение работником другой регулярной оплачиваемой работы на условиях трудового договора в свободное от основной работы время.

Заключение трудовых договоров о работе по совместительству допускается с неограниченным числом работодателей, если иное не предусмотрено федеральным законом.

Работа по совместительству может выполняться работником как по месту его основной работы, так и у других работодателей.

В трудовом договоре обязательно указание на то, что работа является совместительством.

Не допускается работа по совместительству лиц в возрасте до восемнадцати лет, на работах с вредными и (или) опасными условиями труда, если основная работа связана с такими же условиями, а также в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом и иными федеральными законами.

Особенности регулирования работы по совместительству для отдельных категорий работников (педагогических, медицинских и фармацевтических работников, работников культуры) помимо особенностей, установленных настоящим Кодексом и иными федеральными законами, могут устанавливаться в порядке, определяемом Правительством Российской Федерации, с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений.