Когда я работал, то неоднократно просил руководство заключить договор ДОСАГО, но это сделано не было.

Срок давности 1 год со дня обнаружения ущерба, ст. 392 ТК РФ -

Работник имеет право обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора в течение трех месяцев со дня, когда он узнал или должен был узнать о нарушении своего права, а по спорам об увольнении - в течение одного месяца со дня вручения ему копии приказа об увольнении либо со дня выдачи трудовой книжки.

Работодатель имеет право обратиться в суд по спорам о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, в течение одного года со дня обнаружения причиненного ущерба.

При пропуске по уважительным причинам сроков, установленных частями первой и второй настоящей статьи, они могут быть восстановлены судом.

Но в Вашем случае у работодателя образовался ущерб только после того как с него (с работодателя) потерпевший взыщет ущерб.

Работодатель вправе взыскать с Вас полный ущерб только в случае если Вас признали виновным в причинении ущерб и Вы были привлечены к административной ответственности, п. 6 ст. 243 ТК РФ -

Материальная ответственность в полном размере причиненного ущерба возлагается на работника в следующих случаях:

причинения ущерба в результате административного проступка, если таковой установлен соответствующим государственным органом;

Способы защиты сложно Вам посоветовать не зная всех ньюансов дела. Но сейчас можно сделать ссылку только на судебную практику Верховного суда РФ, привожу выдержку, которая скорей всего Вам подойдет и Вы будете освобождены от материальной овтетственности в полном объеме:

ПЛЕНУМ ВЕРХОВНОГО СУДА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПОСТАНОВЛЕНИЕ

от 16 ноября 2006 г. N 52

О ПРИМЕНЕНИИ СУДАМИ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА,

РЕГУЛИРУЮЩЕГО МАТЕРИАЛЬНУЮ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ РАБОТНИКОВ

ЗА УЩЕРБ, ПРИЧИНЕННЫЙ РАБОТОДАТЕЛЮ

12. Согласно пункту 6 части первой статьи 243 ТК РФ материальная ответственность в полном размере причиненного ущерба может быть возложена на работника в случае причинения им ущерба в результате административного проступка, если таковой установлен соответствующим государственным органом.

Учитывая это, работник может быть привлечен к полной материальной ответственности, если по результатам рассмотрения дела об административном правонарушении судьей, органом, должностным лицом, уполномоченными рассматривать дела об административных правонарушениях, было вынесено Постановление о назначении административного наказания (пункт 1 абзаца первого части 1 статьи 29.9 Кодекса Российской Федерации об административных правонарушениях), поскольку в указанном случае факт совершения лицом административного правонарушения установлен.

Если работник был освобожден от административной ответственности за совершение административного правонарушения в связи с его малозначительностью, о чем по результатам рассмотрения дела об административном правонарушении было вынесено постановление о прекращении производства по делу об административном правонарушении, и работнику было объявлено устное замечание, на такого работника также может быть возложена материальная ответственность в полном размере причиненного ущерба, так как при малозначительности административного правонарушения устанавливается факт его совершения, а также выявляются все признаки состава правонарушения и лицо освобождается лишь от административного наказания (статья 2.9, пункт 2 абзаца второго части 1 статьи 29.9 Кодекса Российской Федерации об административных правонарушениях).

Поскольку истечение сроков давности привлечения к административной ответственности либо издание акта об амнистии, если такой акт устраняет применение административного наказания, является безусловным основанием, исключающим производство по делу об административном правонарушении (пункты 4, 6 статьи 24.5 Кодекса Российской Федерации об административных правонарушениях), в указанных ситуациях работник не может быть привлечен к полной материальной ответственности по пункту 6 части первой статьи 243 ТК РФ, однако это не исключает право работодателя требовать от этого работника возмещения ущерба в полном размере по иным основаниям.

Таким образом, если дело об административном нарушении было закрыто за пропуском срока, то ответственность Вы можете нести только в пределах Вашего среднего заработка, но не в полном размере причиненного ущерба.