И можно ли уволить сотрудника без вот этих зафиксированных провинностей?

Опоздания, отсутсвие на рабочем месте - соответсвующими актами и отобранием объяснения нарушителя.

Невыполнение обязанностей, не компетенция - актами служебного расследования, отобранием объяснений нарушителя, проведением аттестации.

По каждому факту нарушений работодатель может наложить дисциплинарное взыскание.

При наличии 2 и более взысканий, работодатель вправе расторгнуть трудовой договор с работником по собственной инициативе. Отсутсвие на рабочем месте более 4 часов является прогулом.

Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:

3) несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации;

5) неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание;

6) однократного грубого нарушения работником трудовых обязанностей:

а) прогула, то есть отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены), независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены);