Работодатель отказался признавать рабочий стаж после временного отсутствия сотрудника по причине болезни и личного горя

Здравствуйте.

Ваши действия зависят от того, чего Вы сами хотите получить от этой ситуации.

То, что трудовой договор не оформлен - значения не имеет, в соответствии со ст. 67 Трудового кодекса РФ - трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.

То есть, на Вас распространяются все обязанности, возложенные трудовым законодательством. А именно - Вы должны были предупредить о временной нетрудоспособности, оформить лист нетрудоспособности, а после ее окончания - предъявить лист нетрудоспособности работодателю для оплаты. Отсутствие с 1 по 5 июня нужно оформлять Вашим заявлением о предоставлении отпуска без сохранения заработной платы и последующим приказом работодателя.

Фактически - Вы отсутствовали на работе без уважительных причин с 25 по 29 мая и с 01 по 05 июня, это два серьезных дисциплинарных проступка, ответственность за которые - увольнение по п "а" ч.6 ст.81 Трудового кодекса РФ.

Самое оптимальное, на мой взгляд, по договоренности с работодателем оформить трудовой договор сроком с 05.05. по 22.05., получить зп за данный период и все. Потому что если Вы решите требовать что-то с работодателя, Вам придется отвечать за собственное исполнение трудовых обязанностей. Но решать, безусловно, Вам.