Что делать, если моя компания поменяла название, а я нахожусь на больничном и срок его окончания приходится на период действия старого названия фирмы? Могли ли меня уволить?

Вас не имели права сокращать. Срочно пишите письменную претензию руководителю и требуйте восстановления на работе. Подавайте в суд если откажут. Обратите внимание на сроки исковой давности 1 мес со дня увольнения.

В заявлении указываете примерно следующее:

На основании ст. 261 ТК РФ я, как работник, находящейся на ____неделе беременности, имею гарантии при расторжении трудового договора по инициативе работодателя, а именно:

В соответствии с ст. 261, расторжение трудового договора по инициативе работодателя с беременной женщиной не допускается, за исключением случаев ликвидации организации, либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем, а так же с истечением срока действия трудового договора. На момент моего увольнения, компания не подлежала ликвидации, реорганизации, а так же срок действия моего трудового договора не истек. Согласно нормам трудового и гражданского законодательства, неизвестность факта беременности работницы на момент увольнения не имеет правового значения для разрешения спора, поскольку гарантии, закрепленные в ст.261 ТК РФ, законодатель связывает с состоянием беременности женщины в момент увольнения, а не с какими-либо иными обстоятельствами, в том числе знанием или незнанием работодателя о беременности.

Кроме того, работницу нельзя уволить по инициативе работодателя даже в тех случаях, когда она совершает явные злостные нарушения дисциплины, за которые закон при других обстоятельствах позволяет сразу уволить работника - за прогул, то есть за отсутствие на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены), независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены) (подп. «а» п.6 ч.1 ст.81 ТК РФ). Указанные обстоятельства о невозможности моего увольнения по п.п.а п.6 ст 81 ТК обусловлены Постановлением Конституционного Суда РФ от 15.12.2011 N 28-П положение ч. 4 указанной статьи, в соответствии с которым гарантия в виде запрета расторжения по инициативе работодателя трудового договора, предоставляется женщинам, имеющим малолетних детей, признано не соответствующим Конституции РФ, а так же учитывая правовую позицию Конституционного Суда РФ, выраженную им в Определении от 04.11.2004 N 343-О, где Конституционный Суд указал, что ч.1 ст.261 ТК РФ, запрещающая увольнение беременных женщин, относится к числу специальных норм, предоставляющих беременным женщинам повышенные гарантии по сравнению с другими нормами ТК, регламентирующими вопросы расторжения трудового договора, как общими, так и предусматривающими особенности регулирования труда женщин и лиц с семейными обязанностями.