Как оформить педагогическую деятельность после увольнения из музыкальной школы при назначении на пост директора?

Все будет зависеть от условий трудового договора заключенного с Вами (ст.56-58 ТК РФ).

Заключайте договор о совмещении должностей согласно ст. 60.2 ТК РФ:

"С письменного согласия работника ему может быть поручено выполнение в течение установленной продолжительности рабочего дня (смены) наряду с работой, определенной трудовым договором, дополнительной работы по другой или такой же профессии (должности) за дополнительную оплату (статья 151 настоящего Кодекса).

Поручаемая работнику дополнительная работа по другой профессии (должности) может осуществляться путем совмещения профессий (должностей). Поручаемая работнику дополнительная работа по такой же профессии (должности) может осуществляться путем расширения зон обслуживания, увеличения объема работ. Для исполнения обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от работы, определенной трудовым договором, работнику может быть поручена дополнительная работа как по другой, так и по такой же профессии (должности).

Срок, в течение которого работник будет выполнять дополнительную работу, ее содержание и объем устанавливаются работодателем с письменного согласия работника.

Работник имеет право досрочно отказаться от выполнения дополнительной работы, а работодатель - досрочно отменить поручение о ее выполнении, предупредив об этом другую сторону в письменной форме не позднее чем за три рабочих дня".

Если вакансия преподавателя, работа, с которой вы уволены, сохраняется, то вы можете занимать эту должность как совместитель - ст. 60.2 ТК РФ, договор совместительства заключаете с вашим работодателем по основному месту работы

Статья 60.2. Совмещение профессий (должностей). Расширение зон обслуживания, увеличение объема работы. Исполнение обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от работы, определенной трудовым договором

С письменного согласия работника ему может быть поручено выполнение в течение установленной продолжительности рабочего дня (смены) наряду с работой, определенной трудовым договором, дополнительной работы по другой или такой же профессии (должности) за дополнительную оплату (статья 151 настоящего Кодекса).

Поручаемая работнику дополнительная работа по другой профессии (должности) может осуществляться путем совмещения профессий (должностей). Поручаемая работнику дополнительная работа по такой же профессии (должности) может осуществляться путем расширения зон обслуживания, увеличения объема работ. Для исполнения обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от работы, определенной трудовым договором, работнику может быть поручена дополнительная работа как по другой, так и по такой же профессии (должности).

Срок, в течение которого работник будет выполнять дополнительную работу, ее содержание и объем устанавливаются работодателем с письменного согласия работника.

Работник имеет право досрочно отказаться от выполнения дополнительной работы, а работодатель - досрочно отменить поручение о ее выполнении, предупредив об этом другую сторону в письменной форме не позднее чем за три рабочих дня.

Если говорить о совместительстве то вы не можете в одном лице как директор школы заключить с самой собой трудовой договор как с преподавателем на совместительство Поэтому остается только вариант совмещения

Под совмещением профессий (должностей) понимается выполнение работником наряду со своей основной работой, обусловленной трудовым договором, дополнительной работы по другой профессии (должности) ст.60.2

Поэтому договаривайтесь со свои работодателем чтобы ваш трудовой договор содержал условия:

- основной работы;

- дополнительной (совмещаемой) работы;