Есть ли какие-то сроки, в течении которых он может это сделать?

1) Сроки предъявления требований о разделе имущества - общие для гражданского права - 3 года с момента, когда лицо узнало или должно было узнать о нарушении его права (ст.200 ГК РФ).

2) Ваш развод зарегистрирован 10 лет назад, т.е. 10 лет назад для Вас перестал действоватьрежим "совместнойй собственности супругов" (когда доли определяются без всяких доказательств 50/50). В суде б/супругу придеться доказать, какое именно имущество он приобретал вместе с Вами и какова его доля в этом, каковы его вложения в произведенный ремонт, а также сам факт ремонта (неужели Вы договор заключали или расписки выдавали о приемке работ? быть может чеки какие есть? и какое эти чеки, например, на стройматериалы, имеют к Вашей квартире?). Можно даже и не признавать факт совместного проживания: пусть доказывает (если, конечно, Вы не были прописаны вместе). При отсутствии доказательств его иск является несостоятельным.

3)Если решите окончить разбирательство без суда: не передавайте никаких сумм или имущщества без заключения нотариального соглашения о его разделе: иначе очень сложно доказать окончание срока исковой давности (см. выше) или же заявлять в суде о том, что Вы уже что-то передали данному человеку.