И что может грозить страховой компании за просрочку выплаты?

Уважаемый Андрей! В Вашем случае необходимо обратиться в суд с исковым заявлением о взыскании убытков причиненных в результате дорожно-транспортного происшествия. Только таким способом можно "ускорить выплату", я не знаком с материалами дела, поэтому напишу исходя из того что Вы написали. Страховая компания должна в течении месяца, с момента сдачи последнего Вами документа осуществить осмотр Вашего транспортного средства и произвести страховую выплату, при неисполнении данной обязанности страховая компания за каждый день просрочки обязана уплатить Вам неустойку в размере одной семьдесят пятой ставки рефинансирования Центрального банка Российской Федерации, действующей на день, когда страховая компания должна была исполнить эту обязанность, приблизительно она равняется 204 рубля за каждый рабочий день. Вам необходимо обратиться к юристу для составления искового заявления, приложив документы, которые Вы сдавали в страховую компанию, т. е. заберите копии документов из страховой компании, затем документы на машину: ПТС, ТЕХ. ПАСПОРТ (копии, оригиналы принесете уже на суд ) и Ваш паспорт (первая страница и страница с пропиской). Ваше дело будет рассматриваться (если нет никаких сложностей) примерно 2 месяца, т. е. само рассмотрение дела и получение исполнительного листа и решения. Из сложившейся практики, в случае если страховая компания признает наступление страхового случая - проблем с получением денежных средств через суд у Вас не будет.

С уважением специалист Горобец Игорь Юрьевич