Может ли он получить второе гражданство, чтобы оставаться в России и периодически возвращаться домой?

Может в соответствии с п. б, ч.2 Федерального закона от 31 мая 2002 г. N 62-ФЗ "О гражданстве Российской Федерации"

"2. Иностранные граждане и лица без гражданства, проживающие на территории Российской Федерации, вправе обратиться с заявлениями о приеме в гражданство Российской Федерации в упрощенном порядке без соблюдения условия о сроке проживания, установленного пунктом "а" части первой статьи 13 настоящего Федерального закона, если указанные граждане и лица:

б) состоят в браке с гражданином Российской Федерации не менее трех лет;".

ivo.garant.ru

Чтобы оставаться в России и периодически возвращаться домой нужно подать заявление о выдаче разрешения на временное проживание

В соответствии со статьей 6 Федерального закона от 25 июля 2002 г. N 115-ФЗ "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации" разрешение на временное проживание может быть выдано иностранному гражданину в пределах квоты, утвержденной Правительством Российской Федерации.

Квота утверждается Правительством Российской Федерации ежегодно для каждого субъекта Российской Федерации.

Если квота исчерпана, заявление о выдаче разрешения на временное проживание к рассмотрению не принимается.

Кроме того, Федеральным законом N 115-ФЗ определены категории иностранных граждан, которым разрешение на временное проживание может быть выдано без учета квоты.

Так п.4, ч.3. ст. 6 ФЗ №115 предусматривает возможность выдачи иностранному гражданину разрешения без учета квоты на временное проживание:

4) состоящему в браке с гражданином Российской Федерации, имеющим место жительства в Российской Федерации;