И сказали что следующие выплаты начнутся ежемесячно с июня месяца.

Увы, работодатель. действительно, на период отпуска по беременности и родам, который у Вас закончился в мае, выплачивается иное пособие, на период этого отпуска, в размере среднего заработка, пособие по уходу за ребенком в этот период не выплачивается.

Федеральный закон от 19 мая 1995 г. N 81-ФЗ

"О государственных пособиях гражданам, имеющим детей"

(с изменениями от 24 ноября 1995 г., 18 июня, 24 ноября, 30 декабря 1996 г., 21, 29 июля 1998 г., 17 июля 1999 г., 10 июля, 7 августа 2000 г., 30 мая, 28 декабря 2001 г., 25 июля 2002 г., 22 августа, 29 декабря 2004 г., 22 декабря 2005 г., 5 декабря 2006 г., 25 октября 2007 г., 1 марта, 14, 23 июля, 25 декабря 2008 г.)

"Статья 13. Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком

Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком имеют:

матери либо отцы, другие родственники, опекуны, фактически осуществляющие уход за ребенком, подлежащие обязательному социальному страхованию и находящиеся в отпуске по уходу за ребенком;

Статья 14. Продолжительность выплаты ежемесячного пособия по уходу за ребенком

Лицам, указанным в абзацах втором - пятом части первой статьи 13 настоящего Федерального закона, ежемесячное пособие по уходу за ребенком выплачивается со дня предоставления отпуска по уходу за ребенком до достижения ребенком возраста полутора лет".