Должен ли работодатель их возместить?

Заявления о чем, пардон? Невыплата заработной платы, незаконное увольнение, отсутствие оформления трудовых отношений? Огорчу - в данном случае прокуратура и трудовая инспекция не являются обязательными инстанциями. И ожидание ответа от указанных инстанций срок на обращение в суд (весьма короткий: 1 месяц для оспаривания увольнения, 3 месяца - на оспаривание нарушения иных прав) - не прерывает и судами в качестве уважительной причины пропуска срока на обращение в суд не принимается, с соответствующими последствиями (отказ в иске по формальным основаниям). Так что вообще непонятно, зачем Вам нужны в Вашей ситуации трудовая инспекция (которая не разрешает споры, а максимум штрафует в пользу государства) и прокуратура (которая в данных вопросах просто пересылает жалобы граждан в ту же трудовую инспекцию). Зря потеряете время и деньги. Поскольку такие инстанции не являются обязательными, их прохождение не является необходимым по закону, то и расходы на заявления в указанные инстанции необходимыми расходами быть признаны не могут. Следовательно, их Вам не компенсируют. Идите к нормальному адвокату и заказывайте нормальное исковое заявление с учетом Вашей ситуации. Это все, что можно посоветовать.