Может ли работодатель взыскать с работника судебные расходы и издержки?

Да, может, если выиграет дело

Зависит от того, кто истец и ответчик.

НК РФ:

Статья 333.20. Особенности уплаты государственной пошлины при обращении в Верховный Суд Российской Федерации, суды общей юрисдикции, к мировым судьям

1. По делам, рассматриваемым Верховным Судом Российской Федерации в соответствии с гражданским процессуальным "законодательством" Российской Федерации и "законодательством" об административном судопроизводстве, судами общей юрисдикции, мировыми судьями, государственная пошлина уплачивается с учетом следующих особенностей:

8) в случае, если истец, административный истец освобожден от уплаты государственной пошлины в соответствии с настоящей главой, государственная пошлина уплачивается ответчиком, административным ответчиком (если он не освобожден от уплаты государственной пошлины) пропорционально размеру удовлетворенных судом исковых требований, административных исковых требований, а в случаях, предусмотренных законодательством об административном судопроизводстве, в полном объеме;

2. Верховный Суд Российской Федерации, суды общей юрисдикции или мировые судьи, исходя из имущественного положения плательщика, вправе освободить его от уплаты государственной пошлины по делам, рассматриваемым указанными судами или мировыми судьями, либо уменьшить ее размер, а также отсрочить (рассрочить) ее уплату в порядке, предусмотренном "статьей 333.41" настоящего Кодекса.

Статья 333.36. Льготы при обращении в Верховный Суд Российской Федерации, суды общей юрисдикции, к мировым судьям

1. От уплаты государственной пошлины по делам, рассматриваемым Верховным Судом Российской Федерации в соответствии с гражданским процессуальным "законодательством" Российской Федерации и "законодательством" об административном судопроизводстве, судами общей юрисдикции, мировыми судьями, освобождаются:

1) истцы - по искам о взыскании заработной платы (денежного содержания) и иным требованиям, вытекающим из трудовых правоотношений, а также по искам о взыскании пособий...