Можно ли купить недвижимость в России на основании заграничного паспорта РФ?

Нет, в России нужно предъявить тогда паспорт Туркменистана.

Это не влияет на регистрацию права собственности согласно ст. 8.1 ГК РФ:

"В государственном реестре должны быть указаны данные, позволяющие определенно установить объект, на который устанавливается право, управомоченное лицо, содержание права, основание его возникновения".

Может ли она совершить покупку квартиры в России по заграничному паспорту РФ, выданному ей в посольстве России в Ашгабате?

---пусть покупает и регистрирует. а при отказе в регистрации обжалует его в суде.

Федеральный закон от 21.07.1997 N 122-ФЗ (ред. от 13.07.2015) "О государственной регистрации прав на недвижимое имущество и сделок с ним" (с изм. и доп., вступ. в силу с 12.10.2015)

Федеральный закон от 21.07.1997 N 122-ФЗ (ред. от 13.07.2015) "О государственной регистрации прав на недвижимое имущество и сделок с ним" (с изм. и доп., вступ. в силу с 12.10.2015)

Статья 5. Участники отношений, возникающих при государственной регистрации прав на недвижимое имущество и сделок с ним

Участниками отношений, возникающих при государственной регистрации прав на недвижимое имущество и сделок с ним, являются собственники недвижимого имущества и обладатели иных подлежащих государственной регистрации прав на него, иные лица в предусмотренных федеральным законом случаях, в том числе граждане Российской Федерации, иностранные граждане и лица без гражданства, российские и иностранные юридические лица, международные организации, Союзное государство, иностранные государства, Российская Федерация, субъекты Российской Федерации и муниципальные образования, с одной стороны, и органы, осуществляющие государственную регистрацию прав, - с другой.

(в ред. Федеральных законов от 21.12.2009 N 334-ФЗ, от 23.07.2013 N 250-ФЗ, от 29.06.2015 N 183-ФЗ)

------------------------------------------------------

Статья 218 КАС. Предъявление административного искового заявления об оспаривании решений, действий (бездействия) органа государственной власти, органа местного самоуправления, иного органа, организации, наделенных отдельными государственными или иными публичными полномочиями, должностного лица, государственного или муниципального служащего и рассмотрение административного дела по предъявленному административному исковому заявлению

1. Гражданин, организация, иные лица могут обратиться в суд с требованиями об оспаривании решений, действий (бездействия) органа государственной власти, органа местного самоуправления, иного органа, организации, наделенных отдельными государственными или иными публичными полномочиями (включая решения, действия (бездействие) квалификационной коллегии судей, экзаменационной комиссии), должностного лица, государственного или муниципального служащего (далее - орган, организация, лицо, наделенные государственными или иными публичными полномочиями), если полагают, что нарушены или оспорены их права, свободы и законные интересы, созданы препятствия к осуществлению их прав, свобод и реализации законных интересов или на них незаконно возложены какие-либо обязанности. Гражданин, организация, иные лица могут обратиться непосредственно в суд или оспорить решения, действия (бездействие) органа, организации, лица, наделенных государственными или иными публичными полномочиями, в вышестоящие в порядке подчиненности орган, организацию, у вышестоящего в порядке подчиненности лица либо использовать иные внесудебные процедуры урегулирования споров.

---подавайте письменное заявление и просите дать на него письменный ответ, а при получении отказа, обжалуйте его в суде. В течении 3 месяцев.