Как дети рожденные в гражданском браке могут взять только часть от двойной фамилии дочери?

Нет, не могут. См. ФЗ "Об актах гражданского состояния",

Статья 17. Порядок внесения сведений о родителях в запись акта о рождении ребенка

У ребенка будет двойная. Согласно статье 18 Федерального закона от 15 ноября 1997 года №143-ФЗ "Об актах гражданского состояния" при государственной регистрации рождения фамилия ребенка записывается по фамилии его родителей.

Федеральный закон от 15.11.1997 N 143-ФЗ (ред. от 31.12.2014) "Об актах гражданского состояния"

Статья 18. Запись фамилии, имени и отчества ребенка при государственной регистрации рождения

1. При государственной регистрации рождения фамилия ребенка записывается по фамилии его родителей. При разных фамилиях родителей фамилия ребенка записывается по фамилии отца или по фамилии матери по соглашению родителей.

2. Имя ребенка записывается по соглашению родителей.

3. При отсутствии соглашения между родителями имя ребенка и (или) его фамилия (при разных фамилиях родителей) записываются в записи акта о рождении ребенка по указанию органа опеки и попечительства.

4. Отчество ребенка записывается по имени отца, если иное не основано на национальном обычае.

5. В случае, если мать не состоит в браке с отцом ребенка и отцовство в отношении ребенка не установлено, имя ребенка записывается по желанию матери, отчество - по имени лица, указанного в записи акта о рождении в качестве отца ребенка, фамилия ребенка - по фамилии матери.

В случае, если по желанию матери, не состоящей в браке с отцом ребенка, сведения об отце ребенка не вносятся в запись акта о рождении, отчество ребенка записывается по указанию матери.

6. В случае, если законом субъекта Российской Федерации, основанным на нормах Семейного кодекса Российской Федерации, предусмотрен иной порядок присвоения фамилии и определения отчества ребенка, запись фамилии и отчества ребенка при государственной регистрации рождения производится в соответствии с законом субъекта Российской Федерации.

Может оформить фамилию двойную через загс, но из личного опыта могу сказать, что ЗАГС отказывает и приходится обращаться в суд. Отказ при условии, что сразу не присвоили, а спустя время. Сразу конечно такое право есть и проблем не будет

Двойная фамилия - это как одно целое, то же самое, что и обычная. Поменяйте сами свою фамилию на девичью (правда и документы вам придется менять - паспорт, ИНН, загранпаспорт), тогда сможете. Поймите, по-другому никак

ФЗ "Об актах гражданского состояния"