Прописка в новой квартире - как решить проблему с долгом на старом адресе?

Не правы. От долга никак не зависит возможность снятия с регистрации. Вам нужно обратиться с жалобой в прокуратуру (ст. 10 ФЗ "О прокуратуре РФ")

Это незаконно, жалуйтесь в прокуратуру на такое самоуправство должностных лиц. Снять с учета обязаны по заявлению. Регистрация в жилом помещении осуществляется в соответствии с положениями Административного регламента предоставления Федеральной миграционной службой государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, утвержденного Приказом ФМС России от 11.09.2012 N 288.

Нет не правы. Долг по старой квартире конечно с Вас никто не снимет, но отказывая в прописке они нарушают закон. Можете обратиться с жалобой в прокуратуру.

"что делать и правы ли они"

Не обращать внимание и они не правы.

Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 "Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня должностных лиц, ответственных за регистрацию" указывает:

"Гражданин, изменивший место жительства, обязан не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к должностным лицам, ответственным за регистрацию, и представить:

документ, удостоверяющий личность;

заявление установленной формы о регистрации по месту жительства;

документ, являющийся в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации основанием для вселения в жилое помещение."

Органы регистрационного учета регистрируют граждан по месту жительства в 3-дневный срок со дня поступления документов.

Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:

а) изменения места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства (в письменной форме или в форме электронного документа). При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета".

Нет никаких ограничений.