Обязательное написание заявления на отпуск без содержания при обучении на курсах переподготовки - правомерно ли такое требование?

Нет и заставлять не могут.

Статья 237 Трудового кодекса Российской Федерации. Возмещение морального вреда, причиненного работнику Моральный вред, причиненный работнику неправомерными действиями или бездействием работодателя, возмещается работнику в денежной форме в размерах, определяемых соглашением сторон трудового договора. В случае возникновения спора факт причинения работнику морального вреда и размеры его возмещения определяются судом независимо от подлежащего возмещению имущественного ущерба. Статья 391 Трудового кодекса Российской Федерации. Рассмотрение индивидуальных трудовых споров в судах В судах рассматриваются индивидуальные трудовые споры по заявлениям работника, работодателя или профессионального союза, защищающего интересы работника, когда они не согласны с решением комиссии по трудовым спорам либо когда работник обращается в суд, минуя комиссию по трудовым спорам, а также по заявлению прокурора, если решение комиссии по трудовым спорам не соответствует трудовому законодательству и иным актам, содержащим нормы трудового права. Непосредственно в судах рассматриваются индивидуальные трудовые споры по заявлениям: работника - о восстановлении на работе независимо от оснований прекращения трудового договора, об изменении даты и формулировки причины увольнения, о переводе на другую работу, об оплате за время вынужденного прогула либо о выплате разницы в заработной плате за время выполнения нижеоплачиваемой работы, о неправомерных действиях (бездействии) работодателя при обработке и защите персональных данных работника; работодателя - о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, если иное не предусмотрено федеральными законами. Непосредственно в судах рассматриваются также индивидуальные трудовые споры: об отказе в приеме на работу; лиц, работающих по трудовому договору у работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями, и работников религиозных организаций; лиц, считающих, что они подверглись дискриминации. Статья 392 Трудового кодекса Российской Федерации. Сроки обращения в суд за разрешением индивидуального трудового спора Работник имеет право обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора в течение трех месяцев со дня, когда он узнал или должен был узнать о нарушении своего права, а по спорам об увольнении - в течение одного месяца со дня вручения ему копии приказа об увольнении либо со дня выдачи трудовой книжки. Работодатель имеет право обратиться в суд по спорам о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, в течение одного года со дня обнаружения причиненного ущерба. При пропуске по уважительным причинам сроков, установленных частями первой и второй настоящей статьи, они могут быть восстановлены судом. Статья 393 Трудового кодекса Российской Федерации. Освобождение работников от судебных расходов При обращении в суд с иском по требованиям, вытекающим из трудовых отношений, в том числе по поводу невыполнения либо ненадлежащего выполнения условий трудового договора, носящих гражданско-правовой характер, работники освобождаются от оплаты пошлин и судебных расходов.