Дело в том что я пока безработная, и сижу дома с ребенком.

Здесь можно поспорить. Если Ваш гражданский муж является отцом ребенка и записан в соответствующих документах как отец, он имеет такие же права на воспитание ребенка как и Вы. Да, есть такая практика, что ребенка отцу как правило не оставляют, но и запрета на такое действие нет. Ваш гражданский муж может не дать согласия на вывоз Вашего совместного с ним ребенка за границу, что он возможно и сделает. Вам придется добиваться этого в судебном порядке. При этом Вам придется доказывать, что за границей Вы будете иметь достаточный уровень доходов, что бы ребенок был полностью всем обеспечен. Брак с мужчиной за границей у Вас не зарегистрирован, его уровень доходов и имущественно положение не понятно и трудно доказуемо, Вы сами никаких доходов не имеете, гарантий у Вас никаких. Что бы Ваш новый мужчина усыновил ребенка, если у него есть такое желание, Вам придется лишать отца ребенка родительских прав, а оснований для этого нет. Нюансов в общем множество. Если Ваш муж догадается обратиться в органы опеки ситуация примет совсем не выгодный для Вас оборот. С подачи органа опеки вполне вероятна ситуация, что ребенка оставят именно отцу. Если после прочтения данного ответа у Вас все еще осталось желание совершить задуманное без юридической помощи в решении всех этих проблем не обойтись. Вам стоит обратиться к опытному юристу в порядке очной консультации для построения Вашей правовой позиции по данному вопросу.