Допущена ошибка в дате рождения в трудовой книжке, как доказать её принадлежность мне через суд.

Для этого, нужно составить исковое заявление, юридически правильно обосновать свое требование и обратиться в суд.

пишите иск о признании факта принадлежности вам трудовой книжки, ищите свидетелей, что вы работали у данного работодателя

но лучше вам исправить ошибку в кадрах, если работодатель не прекратил свою деятельность

Вы не указали самого главного!

Вы сейчас состоите в трудовых отношения где-нибудь? Если да-то никаких судов не нужно.

В случае выявления неправильной или неточной записи в трудовой книжке исправление ее производится по месту работы, где была внесена соответствующая запись, либо работодателем по новому месту работы на основании официального документа работодателя, допустившего ошибку. Работодатель обязан в этом случае оказать работнику при его обращении необходимую помощь.

Если организация, которая произвела неправильную или неточную запись, реорганизована, исправление производится ее правопреемником, а в случае ликвидации организации - работодателем по новому месту работы на основании соответствующего документа.

Если неправильная или неточная запись в трудовой книжке произведена работодателем - физическим лицом, являющимся индивидуальным предпринимателем, и деятельность его прекращена в установленном порядке, исправление производится работодателем по новому месту работы на основании соответствующего документа (п.п. 27-28 ПОСТАНОВЛЕНИЕ от 16 апреля 2003 г. № 225 "О ТРУДОВЫХ КНИЖКАХ").