Что делать, если не получается забрать новый паспорт в течение месяца, когда прописан в другом городе

Вы не уточнили куда подали на замену паспорта.

Выдача и замена паспортов производятся территориальными органами Министерства внутренних дел Российской Федерации по месту жительства, по месту пребывания или по месту обращения граждан в порядке, определяемом Министерством внутренних дел Российской Федерации (п. 10 Постановления Правительства РФ от 08.07.1997 N 828 "Об утверждении Положения о паспорте гражданина Российской Федерации, образца бланка и описания паспорта гражданина Российской Федерации").

В случае обращения гражданина по вопросу выдачи или замены паспорта по месту жительства паспорт оформляется ему в 10-дневный срок со дня принятия документов территориальным органом Министерства внутренних дел Российской Федерации.

В случае обращения гражданина в территориальный орган Министерства внутренних дел Российской Федерации по вопросу выдачи или замены паспорта не по месту жительства, а также в связи с его утратой (похищением), если утраченный (похищенный) паспорт выдавался другим территориальным органом Министерства внутренних дел Российской Федерации, паспорт оформляется в 30-дневный срок со дня принятия документов территориальным органом Министерства внутренних дел Российской Федерации (п. 16 указанного Постановления).

Учитывайте, что - 1. Проживание по месту пребывания или по месту жительства в жилом помещении гражданина Российской Федерации, обязанного иметь документ, удостоверяющий личность гражданина (паспорт), без документа, удостоверяющего личность гражданина (паспорта), или по недействительному документу, удостоверяющему личность гражданина (паспорту), -

влечет наложение административного штрафа в размере от двух тысяч до трех тысяч рублей.

2. Нарушение, предусмотренное частью 1 настоящей статьи, совершенное в городе федерального значения Москве или Санкт-Петербурге, -

влечет наложение административного штрафа в размере от трех тысяч до пяти тысяч рублей (ст. 19.15 КоАП РФ).

Поэтому найдите время получить паспорт.