Он (работник) написал объяснительную записку, где указал, что мелкими кражами занимаются все.

Право требовать с Вас объяснительную работодатель имеет. Равно как и Вы вправе написать в объяснительной, что ни в чем не виноваты, кражами никогда не занимались, всегда работали честно и т.д. Если Вас уволят "по статье" только на основании чьей-то обезличенной докладной - это будет незаконно. В этом случае Вы вправе восстановиться в судебном порядке, предъявив соответствующий иск в течение 1 месяца со дня увольнения. В случае успешного окончания дела в Вашу пользу будут взысканы компенсация за вынужденный прогул, компенсация морального вреда, а также компенсация за представительские услуги адвоката (если пожелаете воспользоваться помощью такового). Работодателю в итоге, поверьте мне, выйдет куда дороже, чем если бы Вас сократили по-хорошему, с выплатами соответствующих пособий.

Кстати, сведения о дисциплинарных и иных взысканиях в трудовую книжку не вносятся, это также незаконно. Единственное исключение из данного правила - если дисциплинарным взысканием является увольнение работника "по статье".

Главное - не поддавайтесь на давление и не вздумайте писать заявление об увольнении по собственному желанию. Впоследствии доказать в суде, что Ваше увольнение на самом деле не являлось следствием Вашего волеизъявления, а было результатом давления на Вас со стороны работодателя, крайне сложно.

Удачи.