Пьяный квартиросъемщик нанес ущерб соседу, сломав входную дверь - кто должен возместить ущерб и как обратиться за компенсацией?

С виновного

т.е. с того кто ее выломал.

Статья 3 Гражданского процессуального кодекса Российской Федерации. Право на обращение в суд

1. Заинтересованное лицо вправе в порядке, установленном законодательством о гражданском судопроизводстве, обратиться в суд за защитой нарушенных либо оспариваемых прав, свобод или законных интересов, в том числе с требованием о присуждении ему компенсации за нарушение права на судопроизводство в разумный срок или права на исполнение судебного постановления в разумный срок.

2. Отказ от права на обращение в суд недействителен.

3. По соглашению сторон подведомственный суду спор, возникающий из гражданских правоотношений, до принятия судом первой инстанции судебного постановления, которым заканчивается рассмотрение гражданского дела по существу, может быть передан сторонами на рассмотрение третейского суда, если иное не установлено федеральным законом.

Статья 151 Гражданского кодекса Российской Федерации. Компенсация морального вреда

Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.

При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями гражданина, которому причинен вред.