Но до этого государство меня не поставило на учёт в бирже труда, аргументируя тем, что я зарегистрирован как ИП.

Влад, государство право. Вы не платили алименты. Трудоустроиться, особенно в московском регионе, можно и без помощи биржи труда, 98% людей так и делают. Не надо стоять на бирже, тем более как ИП Вы действительно не имеете на это права. Надо было работать. Платить хоть какие-то минимальные суммы.

С другой стороны супруга не вправе Вас не подпускать к ребёнку.

Согласно ст. 66 СК РФ, родитель, проживающий отдельно от ребенка, имеет права на общение с ребенком, участие в его воспитании и решение вопросов получения ребенком образования. Родитель, с которым проживает ребенок, не должен препятствовать общению ребенка с другим родителем, если такое общение не причиняет вред физическому и психическому здоровью ребенка, его нравственному развитию. Родители вправе заключить в письменной форме соглашение о порядке осуществления родительских прав родителем, проживающим отдельно от ребенка. Если родители не могут прийти к соглашению, спор разрешается судом с участием органа опеки и попечительства по требованию родителей (одного из них).

При невыполнении решения суда к виновному родителю применяются меры, предусмотренные гражданским процессуальным законодательством. При злостном невыполнении решения суда суд по требованию родителя, проживающего отдельно от ребенка, может вынести решение о передаче ему ребенка исходя из интересов ребенка и с учетом мнения ребенка .

Поскольку вопрос решается в судебном порядке - необходимо составить исковое заявление, подать его в суд в соответствии с правилами подсудности, приложить все подтверждающие документы, возможно определиться с доказательствами, в дальнейшем ходить на судебные заседания, отстаивать свою позицию.

Вы должны определиться с предполагаемым графиком будущего общения ребёнка отдельно живущим родителем.

Лучше всего вести процесс с помощью специалиста.