Что можно сделать, если кто-то подал ложное заявление в полицию о моей угрозе расправой?

Написать можно, но сразу скажу что результат не предсказуем. Любой гражданин имеет право на обращение в правоохранительные органы, если считает что нарушены его права и свободы. Согласно смысла п. 10 Постановления Пленума ВС РФ от 24.02.05 г. №3 « О судебной практике по делам о защите чести и достоинства граждан, а также деловой репутации граждан и юридических лиц» следует, что в случае, когда гражданин обращается в названные органы с заявлением, в котором приводит те или иные сведения (например в правоохранительные органы с сообщением о предполагаемом, по его мнению, или совершенном либо готовящемся преступлении), но эти сведения в ходе их проверки не нашли подтверждения, данное обстоятельство само по себе не может служить основанием для привлечения этого лица к ответственности, поскольку в указанном случае имела место реализация гражданином конституционного права на обращение в органы, которые в силу законов обязаны проверять поступившую информацию, а не распространение не соответствующих действительности порочащих сведений.

Такие требования могут быть удовлетворены лишь в случае, если при рассмотрении дела суд установит, что обращение в указанные органы не имело под собой никаких оснований и продиктовано не намерением исполнить свой гражданский долг или защитить права и охраняемые законом интересы, а исключительно намерением причинить вред другому лицу, то есть имело место злоупотребление правом.