Имею ли я право отпустить своего подчиненного по устной договоренности и является ли это нарушением?

Заявление действительно должно было быть в письменной форме и приказ тоже должен был быть. Нет документов, подтверждающих уважительность отсутствия на рабочем месте этого работника - это фактически прогул. Насчет охраны труда и ответственности - это решается в каждом случае индивидуально. В Вашей ситуации компания вряд ли несла бы ответственность, потому что для признания травмы производственной, нужно чтобы несчастный случай произошел при исполнении трудовых обязанностей или выполнении какой-либо работы по поручению работодателя (его представителя), а также при осуществлении иных правомерных действий, обусловленных трудовыми отношениями с работодателем либо совершаемых в его интересах. А трудовые обязанности Ваш работник явно не исполнял в этот день. Имели Вы право отпускать или нет работника - зависит от того, что сказано в Вашей должностной инструкции, трудовом договоре и других локальных актах предприятия, регламентирующих Ваши права и обязанности. Объявлять выговор или замечание, или вообще не обойтись без дисциплинарных взысканий в этом случае - это решать уже работодателю, смотря насколько серьезным он сочтет произошедшее и от того, что имели ли Вы право вообще отпускать работника с рабочего места. А Вы, если не согласны с работодателем, можете обжаловать этот выговор в судебном порядке. Но перед объявлением выговора с Вас должны затребовать объяснения. Вот в них Вы и можете обосновать почему Вы считаете что могли отпустить работника, какие серьезные причины у него были чтобы не писать заявление, а отпроситься по телефону с тем, чтобы в первый же рабочий день написать соответствующее заявление, а так же то, что Вы имеете право давать такие разрешения.