Санитаркам предлагают перевод на должность санитарки мойщицы - почему требуется заявление о переводе?

Юлия! заставить вас писать подобные заявления работодатель не вправе.

В соответствии с ч. 3 ст. 81 ТК РФ трудовой договор с работником расторгается только в том случае, если невозможно перевести работника с его письменного согласия на другую имеющуюся у работодателя работу (как вакантную должность или работу, соответствующую квалификации работника, так и вакантную нижестоящую должность или нижеоплачиваемую работу), которую работник может выполнять с учетом его состояния здоровья. При этом работодатель обязан предлагать работнику все отвечающие указанным требованиям вакансии, имеющиеся у него в данной местности. Вакансии в других местностях предлагаются в том случае, если это предусмотрено коллективным или трудовым договором, соглашениями.

Предложение работнику вакансий можно включить в текст уведомления о предстоящем расторжении договора или оформить отдельным документом. С предложенными вакансиями работник должен быть ознакомлен под подпись. Период, в течение которого работник может согласиться на предложенную вакансию или отказаться от нее, законодательно не установлен. Поэтому работник вправе обдумывать предложение до истечения срока предупреждения об увольнении.

П.с. вы правы по поводу доп. соглашения. Если работник согласен на перевод, работодателю нужно заключить с ним дополнительное соглашение к трудовому договору и издать соответствующий приказ (форма N Т-5).