Должен ли я её оплачивать, если изначально оплатил независимую экспертизу?

Вы, Сергей, обязаны возместить своему представителю все его ФАКТИЧЕСКИЕ расходы по ведению Вашего дела. А суд, поскольку Вы выигравшая сторона, рассмотрит Ваше заявление о распределении ФАКТИЧЕСКИХ, документально подтверждённых, судебных расходов. Основания:

ГРАЖДАНСКИЙ ПРОЦЕССУАЛЬНЫЙ КОДЕКС

Статья 94. Издержки, связанные с рассмотрением дела

К издержкам, связанным с рассмотрением дела, относятся:

суммы, подлежащие выплате свидетелям, экспертам, специалистам и переводчикам;

расходы на оплату услуг переводчика, понесенные иностранными гражданами и лицами без гражданства, если иное не предусмотрено международным договором Российской Федерации;

расходы на проезд и проживание сторон и третьих лиц, понесенные ими в связи с явкой в суд;

расходы на оплату услуг представителей;

расходы на производство осмотра на месте;

компенсация за фактическую потерю времени в соответствии со статьей 99 настоящего Кодекса;

связанные с рассмотрением дела почтовые расходы, понесенные сторонами;

другие признанные судом необходимыми расходы.

Статья 98. Распределение судебных расходов между сторонами

1. Стороне, в пользу которой состоялось решение суда, суд присуждает возместить с другой стороны все понесенные по делу судебные расходы, за исключением случаев, предусмотренных частью второй статьи 96 настоящего Кодекса. В случае, если иск удовлетворен частично, указанные в настоящей статье судебные расходы присуждаются истцу пропорционально размеру удовлетворенных судом исковых требований, а ответчику пропорционально той части исковых требований, в которой истцу отказано.

Статья 100. Возмещение расходов на оплату услуг представителя

1. Стороне, в пользу которой состоялось решение суда, по ее письменному ходатайству суд присуждает с другой стороны расходы на оплату услуг представителя в разумных пределах.

2. В случае, если в установленном порядке услуги адвоката были оказаны бесплатно стороне, в пользу которой состоялось решение суда, указанные в части первой настоящей статьи расходы на оплату услуг адвоката взыскиваются с другой стороны в пользу соответствующего адвокатского образования.