Может ли директор учреждения уволиться по переводу на другую должность в эту же организацию, и как правильно это сделать.

Здравствуйте.

Перевод внутри одной организации, по общему правилу, производится без увольнения путем заключения дополнительного соглашения к трудовому договору.

Однако, у руководителя учреждения трудовой договор заключен не с учреждением, а с собственником имущества учреждения, поэтому, действительно, придется увольнять и принимать на должность по новому трудовому договору.