Какая необходимость инженеру водить служебный автомобиль и является ли это законным?

Без согласия работника трудовой договор (а должностные обязанности являются его частью) не подлежит изменению.

В случае применения работодателем ст.74 ТК -

В случае, когда по причинам, связанным с изменением организационных или технологических условий труда (изменения в технике и технологии производства, структурная реорганизация производства, другие причины), определенные сторонами условия трудового договора не могут быть сохранены, допускается их изменение по инициативе работодателя, за исключением изменения трудовой функции работника.

О предстоящих изменениях определенных сторонами условий трудового договора, а также о причинах, вызвавших необходимость таких изменений, работодатель обязан уведомить работника в письменной форме не позднее чем за два месяца, если иное не предусмотрено настоящим Кодексом.

работодатель письменно обязан предупредить работника об изменениях и причинах. Этого времени вполне достаточно для принятия решения о продолжении работы на новых условиях либо о предоставлении данных письменных уведомлений работодателя в ГИТ или прокуратуру для воздействия на оного посредством закона.

Трудовая не только Вам скажет "не подписывай" но и с Вашего руководства стружку снимет! Они тогда или уберут эти обязанности, или же каким-то образом будут их оплачивать! Но в таком положении дела не останутся.