Влияет ли уголовное прошлое родителя на возможность устройства на работу юристом, прокурором или следователем?

Однозначно - устроиться на работу в прокуратуру или следователем - не будет возможности.

Но применить знания юриспруденции, полученные по результатам высшего образования можно не только в прокуратуре.

Требования, предъявляемые к лицам, назначаемым на должности прокуроров и следователей, условия и порядок приема на службу в органы и учреждения прокуратуры (Статья 40.1 Федерального Закона "О прокуратуре РФ")

2. Лицо не может быть принято на службу в органы и учреждения прокуратуры и находиться на указанной службе, если оно: имеет гражданство иностранного государства; признано решением суда недееспособным или ограниченно дееспособным; лишено решением суда права занимать государственные должности государственной службы в течение определенного срока; имело или имеет судимость; имеет заболевание, которое согласно медицинскому заключению препятствует исполнению им служебных обязанностей; состоит в близком родстве или свойстве (родители, супруги, братья, сестры, дети, а также братья, сестры, родители или дети супругов) с работником органа или учреждения прокуратуры, если их служба связана с непосредственной подчиненностью или подконтрольностью одного из них другому; отказывается от прохождения процедуры оформления допуска к сведениям, составляющим государственную тайну, если исполнение служебных обязанностей по должности, на которую претендует лицо, связано с использованием таких сведений.