Возможно ли прописаться в неприватизированную квартиру для наследования после смерти соседки и будут ли проблемы с государством?

Вы можете зарегистрироваться в квартиру к соседке только при согласии нанимателя и наймодателя. При этом должны выписаться из своей. Затем для приватизации квартиры Вас должны внести в договор социального найма.

"Жилищный кодекс Российской Федерации" от 29.12.2004 N 188-ФЗ (ред. от 04.06.2018, с изм. от 10.07.2018) (с изм. и доп., вступ. В силу с 11.07.2018)

Статья 82. Изменение договора социального найма жилого помещения

1. Граждане, проживающие в одной квартире, пользующиеся в ней жилыми помещениями на основании отдельных договоров социального найма и объединившиеся в одну семью, вправе требовать заключения с кем-либо из них одного договора социального найма всех занимаемых ими жилых помещений.

2. Дееспособный член семьи нанимателя с согласия остальных членов своей семьи и наймодателя вправе требовать признания себя нанимателем по ранее заключенному договору социального найма вместо первоначального нанимателя. Такое же право принадлежит в случае смерти нанимателя любому дееспособному члену семьи умершего нанимателя.

Здравствуйте! Можете зарегистрироваться в квартире соседки, но для этого потребуется согласие администрации муниципалитета, которое получить будет сложно, поскольку Вы на находитесь в родственных отношениях. Можете сослаться на то, что необходим уход за соседкой.