Как родителям забрать документы ребенка, подавшего документы на поступление в вуз, но не прошедшего на бюджет?

В сфере образования и правоспособность, и дееспособность принадлежит только лично каждому индивиду, но не его законным представителям: никто не может получить образование (учиться) вместо кого-то.

Законный представитель может представлять субъекта лишь в комиторных отношениях (например, в вопросах оплаты обучения, перевода родителями своего ребенка из одной школы в другую и т.п.), т.е. тех, которые предшествуют образовательному процессу, либо сопровождают и обеспечивают его. Исходя из этого я считаю, что вы можете забрать документы и без доверенности от ребенка, но вузы подстраховываются из-за желания избежать недоразумений просят чтоб ребенок сам забрал документы.