Можно ли уволить нового сотрудника при возвращении предыдущего работника без заключения договора о замещении должности?

Поскольку, письменный трудовой договор не оформлен, то непонятно это срочный договор (ст. 59 ТК РФ) или нет.

Работодатель кончено может оформить приказ об увольнении работника в связи с тем, что вышел старый сотрудник. В таком случае стоит обратиться в трудинспекцию, прокуратуру, суд и указать, что фактически трудовой договор не был оформлен и потребовать чтобы работодателя обязали оформить трудовой договор, после чего станет ясно срочный он или нет.

Статья 61 ТК РФ. Вступление трудового договора в силу

Трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации или трудовым договором, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.

Статья 59 ТК РФ. Срочный трудовой договор

на время исполнения обязанностей отсутствующего работника, за которым в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором сохраняется место работы;

Статья 67 ТК РФ. Форма трудового договора

Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, - не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.