Но 28 декабря 2011 года кардиолог на 10 дней отправил на больничный по 5 января 2012.

Вы неверно считаете.

Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

Так вот, даже если работодатель получил заявление 27.12.2011, то двухнедельный срок начнется только 28.12.2011, а значит - день увольнения 11.01.2012.

Приходите 11.01.2012 на работу, представляйте копию больничного листа, подписывайте приказ об увольнении 11.01.2012г. К концу этого дня Вам обязаны выдать трудовую книжку и расчет.

Далее в ст. 80 ТК РФ говорится

По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет.

Если по истечении срока предупреждения об увольнении трудовой договор не был расторгнут и работник не настаивает на увольнении, то действие трудового договора продолжается.

А вот после закрытия больничного листа предъявите его работодателю, теперь уже бывшему, для оплаты. Только когда будете сдавать больничный, сдавайте его с сопроводительным письмом. Пусть принявшее его лицо (секретарь, бухгалтер, директор, кадровик - кто уполномочен принимать корреспонденцию) распишется на Вашем экземпляре письма.

Всего доброго.