Как написать заявление на отпуск без содержания при отказе работодателя и когда его следует подать?

Можете.

Новая редакция Ст. 128 ТК РФ По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем. Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы: участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году; работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году; родителям и женам (мужьям) военнослужащих, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), - до 14 календарных дней в году; работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году; работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней; в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом,

Написать - можете, просто работодатель не обязан его подписывать (с ним соглашаться).

А больничный - на обязанность работодателя не влияет.

Статья 123 ТК РФ.

Очередность предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков

Очередность предоставления оплачиваемых отпусков определяется ежегодно в соответствии с графиком отпусков, утверждаемым работодателем с учетом мнения выборного органа первичной профсоюзной организации не позднее чем за две недели до наступления календарного года в порядке, установленном статьей 372 настоящего Кодекса для принятия локальных нормативных актов.

График отпусков обязателен как для работодателя, так и для работника.

О времени начала отпуска работник должен быть извещен под роспись не позднее чем за две недели до его начала.