Может ли исключенный председатель кооператива оставаться на этой должности?

Но вы не уточнили тип Вашего кооператива.

Федеральный закон от 30.12.2004 N 215-ФЗ (ред. от 29.07.2018) "О жилищных накопительных кооперативах"

1. Общее собрание членов кооператива является правомочным принимать решения (имеет кворум), если в нем принимают участие члены кооператива, которые составляют не менее пятидесяти процентов от общего числа членов кооператива, или их представители.

2. Принявшими участие в общем собрании членов кооператива считаются члены кооператива, зарегистрировавшиеся для участия в нем, и члены кооператива, заполненные бюллетени которых получены кооперативом не позднее дня, предшествующего дню проведения общего собрания членов кооператива. Принявшими участие в общем собрании членов кооператива в форме заочного голосования считаются члены кооператива, заполненные бюллетени которых получены кооперативом до дня окончания приема бюллетеней.

3. Список членов кооператива, которые приняли участие в общем собрании членов кооператива, а при проведении общего собрания членов кооператива в форме собрания уполномоченных список избранных уполномоченных и список уполномоченных, которые приняли участие в собрании уполномоченных, прилагаются к протоколу общего собрания членов кооператива.

4. При отсутствии кворума годового общего собрания членов кооператива должно быть проведено повторное общее собрание членов кооператива с той же повесткой дня. Повторное общее собрание членов кооператива является правомочным, если в нем приняли участие члены кооператива, которые составляют не менее тридцати процентов от общего числа членов кооператива.