Могут ли заставить отработать 14 дней после написания заявления на увольнение при меньше месяца работы?

Да, работник вправе уволиться по собственному желанию подав заявление работодателю за 2 недели. Если выдоговоритесь с работодателем о любой другой дате уажите ее в заявление на увольнение, если не будете отработывать 14 дней без оснований (больничный или...) то работодатель вправе вас уволить, если вас это волнует, заработную плату все равно выплатят за фактически отработанное время.

Здравствуйте, это законно, если Вы не находитесь сейчас на испытательном сроке по месту своей работы.

ТК РФ Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

Таким образом, требование работодателя отработать две недели является законным. При этом Вы имеете право взять в это время отпуск, если имеется неиспользованный, или уйти на больничный, если заболеете. То есть прямо отрабатывать обязанности нет. Но с момента написания заявления должно пройти две недели.

Изложенное не относится к случаям, когда в отношении работника действует испытательный срок.

Согалсно абз. 4 ст. 71 ТК РФ,

Если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня.

Уйдите на больничный и 14 дней пролетят быстро. Если вы на испытательном сроке, то вас обязаны уволить через 3 дня после подачи заявления об увольнении.