Может ли МБА финансы подать в суд, несмотря на регулярные выплаты по долгу?

Они подадут в суд только для замены стороны в исполнительном производстве.

Федеральный закон от 02.10.2007 N 229-ФЗ (ред. от 06.03.2019) "Об исполнительном производстве" (с изм. и доп., вступ. В силу с 17.03.2019)

Статья 52. Правопреемство в исполнительном производстве

1. В случае выбытия одной из сторон исполнительного производства (смерть гражданина, реорганизация организации, уступка права требования, перевод долга) судебный пристав-исполнитель производит замену этой стороны исполнительного производства ее правопреемником.

2. Судебный пристав-исполнитель производит замену стороны исполнительного производства:

1) на основании судебного акта о замене стороны исполнительного производства правопреемником по исполнительному документу, выданному на основании судебного акта или являющегося судебным актом;

2) на основании правоустанавливающих документов, подтверждающих выбытие стороны исполнительного производства, по исполнительному документу, выданному иным органом или должностным лицом, в случае, если такое правопреемство допускается законодательством Российской Федерации, с передачей правопреемнику прав и обязанностей, установленных законодательством Российской Федерации.

3. О замене стороны исполнительного производства правопреемником судебный пристав-исполнитель выносит постановление, которое утверждается старшим судебным приставом или его заместителем и копия которого не позднее дня, следующего за днем его вынесения, направляется взыскателю и должнику, а также в суд, другой орган или должностному лицу, выдавшим исполнительный документ.

4. Для правопреемника все действия, совершенные до его вступления в исполнительное производство, обязательны в той мере, в какой они были обязательны для стороны исполнительного производства, которую правопреемник заменил.