Может ли учитель со ставкой заместителя директора выполнить дополнительную работу и получить вознаграждение?

Да, безусловно, дополнительное соглашение о дополнительной оплачиваемой работе будет абсолютно законным. Возможность увеличения объема работы, выполнение дополнительной работы с письменного согласия работника предусмотрена ст. 60.2 Трудового кодекса РФ. Доплата производится по правилам ст. 151 ТК РФ:

Размер доплаты устанавливается по соглашению сторон трудового договора с учетом содержания и (или) объема дополнительной работы

Размер доплаты должен быть указан в доп. соглашении.

Конечно вы имеете право на другою регулярную оплачиваемую работу на условиях трудового договора в свободное от основной работы время, по совместительству, ст. 282 ТК РФ.

"Трудовой кодекс Российской Федерации" от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 02.08.2019)

ТК РФ Статья 282. Общие положения о работе по совместительству

Путеводитель по кадровым вопросам. Вопросы применения ст. 282 ТК РФ

Совместительство - выполнение работником другой регулярной оплачиваемой работы на условиях трудового договора в свободное от основной работы время.

Заключение трудовых договоров о работе по совместительству допускается с неограниченным числом работодателей, если иное не предусмотрено федеральным законом.

Работа по совместительству может выполняться работником как по месту его основной работы, так и у других работодателей.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

В трудовом договоре обязательно указание на то, что работа является совместительством.

Не допускается работа по совместительству лиц в возрасте до восемнадцати лет, на работах с вредными и (или) опасными условиями труда, если основная работа связана с такими же условиями, а также в других случаях, предусмотренных настоящим Кодексом и иными федеральными законами.

(в ред. Федеральных законов от 30.06.2006 N 90-ФЗ, от 28.12.2013 N 421-ФЗ, от 02.04.2014 N 55-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Особенности регулирования работы по совместительству для отдельных категорий работников (педагогических, медицинских и фармацевтических работников, работников культуры) помимо особенностей, установленных настоящим Кодексом и иными федеральными законами, могут устанавливаться в порядке, определяемом Правительством Российской Федерации, с учетом мнения Российской трехсторонней комиссии по регулированию социально-трудовых отношений.

(часть шестая в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Вы конечно можете внести изменение в свой трудовой договор стст 57 и 72 ТК РФ В этом соглашении прописать выполнение дополнительной работы Главное чтобы директор согласился подписать такое соглашение Если фонд оплаты труда вашей школы позволяет вам выплатить определенную сумму за вашу дополнительную рабботу то ни какого нарушения здесь не будет.

Сомневаюсь, что это будет законно, так как у Вас уже есть совместительство на 0,5 ставки. У проверяющих могут возникнуть вопросы по необходимости данной ставки и выполнения данных работ. ТК РФ Статья 284. Продолжительность рабочего времени при работе по совместительству

Продолжительность рабочего времени при работе по совместительству не должна превышать четырех часов в день. В дни, когда по основному месту работы работник свободен от исполнения трудовых обязанностей, он может работать по совместительству полный рабочий день (смену). В течение одного месяца (другого учетного периода) продолжительность рабочего времени при работе по совместительству не должна превышать половины месячной нормы рабочего времени (нормы рабочего времени за другой учетный период), установленной для соответствующей категории работников.

Ограничения продолжительности рабочего времени при работе по совместительству, установленные частью первой настоящей статьи, не применяются в случаях, когда по основному месту работы работник приостановил работу в соответствии с частью второй статьи 142 настоящего Кодекса или отстранен от работы в соответствии с частями второй или четвертой статьи 73 настоящего Кодекса.

У меня 0,5 ставки заместителя директора - по совмещению. И необходимо ли доп соглашение оформлять как совместительство и не будет ли претензий от труд инспекции по якобы имеющейся у меня переработке (ставка учителя, полставки завуча и еще доп работа)