Скажите, пожалуйста, могу ли я написать заявление о исковой давности или что еще возможно в такой ситуации?

Исковая давность применяется только по заявлению ответчика. Если этого заявления нет, судья обязан рассмотреть дело по существу; судья не вправе по своему усмотернию применять исковую давность.

Поэтому Вам необходимо подать в суд заявление о пропуске срока исковой давности. Причём заявление подавать необходимо не по электронной почте, а по обычной (если уверены, что письмо успеет дойти) или лично/через представителя (если не уверены, что письмо дойдёт вовремя).

Срок исковой давности составляет три года; в случае со страховой компанией он исчисляется с момента ДТП (ст.965 + ст.387 + ст.201 ГК РФ).

Учтите, что восстановление пропущенного срока исковой давности возможно только для гражданина, а не для юридического лица. Ст.205 ГК РФ гласит: "в исключительных случаях, когда суд признает уважительной причину пропуска срока исковой давности по обстоятельствам, связанным с личностью истца (тяжелая болезнь, беспомощное состояние, неграмотность и т.п.), нарушенное право гражданина подлежит защите". Т.е. закон говорит о восстановлении срока для защиты права гражданина, а не права юридического лица. Так что (если нет каких-то особых обстоятельств, о которых Вы не упомянули), и если Вы заручитесь поддержкой юриста, у Вас есть все шансы на победу.