Могут ли уволить за прогул во время путинских выходных после отпуска по уходу за ребенком?

Нет, по этому основания не смогут, так как соответствующим Указом официально объявлены выходные.

С Уважением, адвокат в г. Москва – Степанов Вадим Игоревич.

Нет, если Ваша организация не относится к исключениям.

Указ Президента от 26 марта 2020 года № 206. 1. Установить с 30 марта по 3 апреля 2020 г. нерабочие дни с сохранением за работниками заработной платы. 2. Настоящий Указ не распространяется на работников: а) непрерывно действующих организаций; б) медицинских и аптечных организаций; в) организаций, обеспечивающих население продуктами питания и товарами первой необходимости; г) организаций, выполняющих неотложные работы в условиях чрезвычайных обстоятельств, в иных случаях, ставящих под угрозу жизнь или нормальные жизненные условия населения; д) организаций, осуществляющих неотложные ремонтные и погрузочно-разгрузочные работы.

если Вашей работы нет в перечне по п. 2 Указа, то можете просто не выходить на работу.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 17.03.2004 N 2 (ред. от 24.11.2015) "О применении судами Российской Федерации Трудового кодекса Российской Федерации" ... не является прогулом использование работником дней отдыха в случае, если работодатель в нарушение предусмотренной законом обязанности отказал в их предоставлении и время использования работником таких дней не зависело от усмотрения работодателя