Ознакомление с историей болезни по доверенности - на каких основаниях это происходит?

Не верно вопрос ставите

Законный представитель-это лица установленные законом для защиты

права, свободы и законные интересы недееспособных или не обладающих полной дееспособностью граждан защищают в суде их родители, усыновители, опекуны, попечители (лица могут действовать без доверенности) или иные лица, которым это право предоставлено федеральным законом. (ст.52 ГПК РФ)

Поверенные-это лицо, наделяемое полномочиями или иначе доверенное лицо.

Ознакомление на законных основаниях или ознакомление на доверительных основаниях или ознакомление на оформленных основаниях?

Если вы наделены полномочиями по доверенности, то вы становитесь Поверенным и ваше представительство называется уполномоченный по доверенности.

Дело в том что я не понимаю есть существуют ли другие основания кроме законных

Можете почитать: ГК,ГПК, Постановление пленума ВС РФ,АПК РФ,Закон о нотариате, Закон об адвокатуре и все поймете,

Как называется такое ознакомление с использованием доверенности? Ознакомление на законных основаниях или ознакомление на доверительных основаниях или ознакомление на оформленных основаниях? Дело в том что я не понимаю есть существуют ли другие основания кроме законных?

Называется это ознакомление с делом представителем по доверенности.

Законные представители — это те лица, которые являются представителями на основании закона, а не какого либо документа.