Проблемы с работодателем - не дали договор, недостаточный отпуск и увольнение без отработки - что делать?

Конечно же можете ссылаться на факты нарушений требований ТК РФ.

Зависит от реакции работодателя...

Трудоустройство на работу оформляется не трудовым договором, а приказом руководителя (ст. 68 ТК РФ) на основании трудового договора. Тем более вы подписали трудовой договор, вам просто не вручили копию, поэтому это не будет основанием для того чтобы без отработки уйти.

Нарушение должно быть установлено трудовой инспекцией или судом.

Да. Согласно ст. 80 ТК РФ

Трудовой кодекс Российской Федерации. Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

(в ред. Федеральных законов от 30.06.2006 N 90-ФЗ, от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

В соответствии со ст.67 ТК РФ трудовой договор в письменном виде должен быть заключен не позднее чем через три дня с момента допуска работника к выполненимю своих обязанностей. Трудовой договор заключается в двух экземплярах, второй экземпляр работодатель обязан вручить работнику под роспись Поэтому трудовой договор работодатель вам обязан выдать, и если этого не произошло налицо нарушение трудового законодательства.