Родители в разводе - ребенок зарегистрирован, но не проживает в квартире отца из-за противодействия матери, живущей в съемном жилье

В вашем случае это очень проблематично, есть особые правила при выписке несовершеннолетнего:

Несовершеннолетний ребенок должен прописываться и сниматься с регистрации совместно с его родителями или законными представителями.

Если несовершеннолетний является собственником жилого помещения или имеет в нем долю, то его выписка при продаже квартиры возможна только с согласия органов опеки и попечительства. Причем согласие органа опеки требуется не только в случае совершения сделок с недвижимостью, где он был зарегистрирован, но и в случае его отказа от своих имущественных прав (например, когда от имени ребенка производится отказ от участия в приватизации квартиры). Если при получении отказа органов опеки родители или законные представители ребенка считают, что отказ неправомерен, они могут обратиться с соответствующим заявлением в суд.

Если родителя ребенка по каким-либо причинам не проживают вместе (например, после развода), то выписка из квартиры несовершеннолетнего гражданина может быть осуществлена только с их согласия.

Если ребенок не проживает в квартире, то выписать его можно на основании решения суда.

Даже если родители (или один из родителей) были лишены родительских прав, несовершеннолетний ребенок все равно сохраняет свое право пользоваться квартирой, в которой он прописан.

Выписать ребенка в никуда нельзя — обязательно должен быть адрес будущей прописки. При этом условия проживания в новом месте должны быть не хуже, чем в предыдущем. То есть если раньше на долю ребенка приходилось 18 кв. м, то и в новой квартире эта доля должна быть не меньше.