Возможно ли не отрабатывать 2 недели при наличии несовершеннолетнего ребенка и что за этим стоит?

Нет законных оснований, только при наличии больничного - возможно.

Или на усмотрение работодателя.

Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

В соответствии с УИК РФ в период отбывания исправительных работ осужденным запрещается увольнение с работы по собственному желанию без разрешения в письменной форме уголовно-исполнительной инспекции

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

Об обжаловании части третьей статьи 80 настоящего Кодекса см. Определение Конституционного Суда РФ от 22 января 2004 г. N 11-О

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

До истечения срока предупреждения об увольнении работник имеет право в любое время отозвать свое заявление. Увольнение в этом случае не производится, если на его место не приглашен в письменной форме другой работник, которому в соответствии с настоящим Кодексом и иными федеральными законами не может быть отказано в заключении трудового договора.

По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку или предоставить сведения о трудовой деятельности (статья 66.1 настоящего Кодекса) у данного работодателя, выдать другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет.

О выдаче в день прекращения работы справки о сумме заработка за два календарных года, предшествующих году прекращения работы, см. статью 4.1 Федерального закона от 29 декабря 2006 г. N 255-ФЗ "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством"

О передаче в день увольнения сведений по начисленным и уплаченным страховым взносам обязательного пенсионного страхования см. Федеральный закон от 1 апреля 1996 г. N 27-ФЗ "Об индивидуальном (персонифицированном) учете в системе обязательного пенсионного страхования"

Если по истечении срока предупреждения об увольнении трудовой договор не был расторгнут и работник не настаивает на увольнении, то действие трудового договора продолжается.

Вы слышали бред.

Работник обязан написать заявление за 2 недели до увольнения.

- см. ст. 80 ТК РФ.

Здравствуйте.

Нет, к сожалению. Наличие несовершеннолетних детей не является основанием для увольнения без отработки. В соответствии со ст.80 ТК РФ Вы обязаны предупредить работодателя о своем увольнении за две недели. Либо можете уволиться по соглашению сторон.