Можно ли уволить без официальных документов и по какой статье?

Да, могут. Увольнение по ст.71 ТК РФ

"Трудовой кодекс Российской Федерации" от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 28.06.2021)

ТК РФ Статья 71. Результат испытания при приеме на работу

При неудовлетворительном результате испытания работодатель имеет право до истечения срока испытания расторгнуть трудовой договор с работником, предупредив его об этом в письменной форме не позднее чем за три дня с указанием причин, послуживших основанием для признания этого работника не выдержавшим испытание. Решение работодателя работник имеет право обжаловать в суд.

При неудовлетворительном результате испытания расторжение трудового договора производится без учета мнения соответствующего профсоюзного органа и без выплаты выходного пособия.

""Если срок испытания истек, а работник продолжает работу, то он считается выдержавшим испытание и последующее расторжение трудового договора допускается только на общих основаниях.

""Если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня.

Если вы не подписывали никаких документов, тогда не могут ничего записать вам в трудовую. То есть уволить по статье не могут. Если такое сделают, вы можете отменить такую запись в судебном порядке

"Трудовой кодекс Российской Федерации" от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 28.06.2021)

ТК РФ Статья 70. Испытание при приеме на работу.

При заключении трудового договора в нем по соглашению сторон может быть предусмотрено условие об испытании работника в целях проверки его соответствия поручаемой работе.

Отсутствие в трудовом договоре условия об испытании означает, что работник принят на работу без испытания. В случае когда работник фактически допущен к работе без оформления трудового договора (часть вторая статьи 67 настоящего Кодекса), условие об испытании может быть включено в трудовой договор, только если стороны оформили его в виде отдельного соглашения до начала работы.