Имеют ли право мне не подписать заявление и не отпустить?

В соответствии со ст. 80 Трудового кодекса РФ "Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен Трудовым Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательное учреждение, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

До истечения срока предупреждения об увольнении работник имеет право в любое время отозвать свое заявление. Увольнение в этом случае не производится, если на его место не приглашен в письменной форме другой работник, которому в соответствии с Трудовым кодексом и федеральными законами не может быть отказано в заключении трудового договора.

По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет.

Если по истечении срока предупреждения об увольнении трудовой договор не был расторгнут и работник не настаивает на увольнении, то действие трудового договора продолжается.

Что касается договора займа, то нужно смотреть в самом договоре когда Вы должны произвести все выплаты, и есть ли привязка досрочного погашения займа к Вашему увольнению или нет.

Заявление об увольнении обязаны подписать, предлагаю поступить так: написать заявление об увольнении в 2-х экземплярах. Принести его в канцелярию и зарегистрировать. Один экземпляр оставить себе с отметкой канцелярии о принятии.Если не будут принимать тогда отправьте ценным письмом с описью. И не забудьте срок начинает течь со следующего дня когда Вами было подано заявление. И не забудьте посмотреть условия в договоре займа.