Как законно дать согласие на прописку в квартире, находящейся в России, находясь за границей только с заграничным паспортом?

Нет не правомочны.

Паспортные данные требуются для одной единственной цели это идентификация личности. То есть соотнесение лица на фото в паспорте и лица, которое подписало заявление. Оформление загран. Паспортов у нас определено положениями закона от 15.08.1996 N 114-ФЗ

(ред. от 14.07.2022)

"О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию" а национальных паспортов - Постановлением Правительства РФ от 08.07.1997 N 828

(ред. от 15.07.2021)

"Об утверждении Положения о паспорте гражданина Российской Федерации, образца бланка и описания паспорта гражданина Российской Федерации".

В этих документах указано, что национальный паспорт гражданина Российской Федерации является основным документом, удостоверяющим личность гражданина Российской Федерации на территории Российской Федерации, а загран. Паспорт удостоверяет личность гражданина при въезде и выезде с территории РФ, и соответственно за ее пределами.

Так как вы заявление будете писать за пределами РФ, то и вашу личность будут идентифицировать за пределами РФ.

Возможно что по каким либо причинам в паспортном столе нудно будет что-то куда-то внести или форма того куда что-то нужно внести не предусматривает внесение сведений о загран паспорте, тогда я рекомендую в заявлении которое будете писать в консульстве указать сведения об обоих паспортах. Загран обязательно, национальный для сведения.