Как поступить, если в ДТП попал работая в МУП без страховки и теперь МУП требует возмещения ущерба?

Какое имеет отношение отсутствие страховки к факту дтп, как вы написали, что в дтп виноваты вы, а поэтому требования к вам о возмещении вреда обоснованы.

А причём тут механик? Он понесёт свою ответственность за то, что выпустил Вас на работу без полиса, но Ваша степень ответственности здесь гораздо выше. Вы, водитель, должны перед выездом проверить наличие всех необходимых документов на машину, в том числе и наличие полиса ОСАГО. И при отсутствии любого документа Вы не имели права выезжать за ворота предприятия. Это требования Правил дорожного движения. Поэтому, если Вы знали, что полиса ОСАГО на автомобиль нет, то могли просто отказаться выезжать, написав письменный отказ садиться за руль с указанием причины - отсутствие полиса ОСАГО. Раз Вы этого не сделали, то взяли на себя всю ответственность за последствия работы на автомобиле без полиса ОСАГО. ДТП оформляли сотрудники ГИБДД, которые наказали Вас штрафом за нарушение ПДД? Если это было так, то дальнейшее развитие событий будет следующим: потерпевший подаст иск в суд на МУП, и взыщет всю сумму ущерба. Затем МУП подаст иск в суд на Вас, и взыщет выплаченную МУП потерпевшему сумму с Вас. Основание: ст. 243 Трудового кодекса РФ.

ТК РФ Статья 243. Случаи полной материальной ответственности. Материальная ответственность в полном размере причиненного ущерба возлагается на работника в следующих случаях: 6) причинения ущерба в результате административного правонарушения, если таковое установлено соответствующим государственным органом;

Всё почти так, как пишет коллега Кабишев. Особо не переживайте. Ущерб оплатит работодатель, в порядке регреса может потребовать возмещения ущерба с вас. Вот когда это произойдёт тогда и обращайтесь персонально к любому юритсу для изучения документов и обстоятельств. В зависимости от ситуации могут бать разные варианты, вплоть до освобождения от возмещения нанесенного вреда.