Может ли меня служба занятости снять с учёта?

Закон не предусматривает указанный Вами случай. Т. е. длительное нахождение на больничном не является основанием для признания гражданина занятым. Поэтому невозможно снять с учёта в качестве безработного, пока не найдёте работу. И не заключите трудовой договор. Только Вы не указали свой возраст. Пенсионеров не признают безработными. Т. е. при выходе на пенсию с учёта на бирже снимают даже без трудового договора.

Вы можете подать специалисту заявление с объяснением причин своего отсутствия (по болезни) и приложить к этому заявлению копию больничного листа. Если специалист снимет вас с учета, то все равно подайте заявление с объяснением причин и просите отменить решение о прекращении выплаты пособия по безработице.

В настоящее время действует Приказ Министерства труда и социальной защиты РФ от 22 февраля 2019 г. N 116 н «Об утверждении Правил, в соответствии с которыми органы службы занятости осуществляют социальные выплаты гражданам, признанным в установленном порядке безработными, и выдачу предложений о досрочном назначении пенсии таким гражданам».

Согласно этому Приказу:

23. Основанием принятия работником центра занятости населения решения о прекращении выплаты пособия по безработице являются содержащиеся в регистре сведения о наступлении следующих случаев:

3) длительная (более месяца) неявка безработного в органы службы занятости без уважительных причин;

24. Решение работника центра занятости населения о прекращении выплаты пособия по безработице оформляется в виде приказа о прекращении выплаты пособия по безработице на бланке личного дела получателя государственных услуг.

29. Основанием принятия работником центра занятости населения решения об отмене решения о прекращении выплаты пособия по безработице являются содержащиеся в регистре сведения о наличии уважительных причин, позволяющих пересмотреть принятое ранее решение о прекращении выплаты пособия по безработице.

30. Решение работника центра занятости населения об отмене решения о прекращении выплаты пособия по безработице оформляется в виде приказа об отмене ранее принятого решения на бланке личного дела получателя государственных услуг.